De movimiento, mecánica y ecuaciones diferenciales

Cierto día en clase de física veíamos las ecuaciones de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (que de ahora en adelante abreviaremos como MRUA), en especial aquellas que sirven para obtener la posición de una partícula dados: tiempo, posición inicial, velocidad inicial y aceleración, dicha fórmula es la siguiente:

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Ahora bien, pasó algo inaudito, inverosímil y realmente fascinante. Un alumno preguntó:

“¿Oiga profesor, de dónde sale esa fórmula?”

Mis ojos se abrieron y comencé a hablar del origen de aquella fórmula.

Para empezar hay que recordar algunas ideas básicas de la mecánica clásica.

“El movimiento rectilíneo uniforme (MRU) es aquel movimiento que experimenta un cuerpo que se mueve a velocidad constante sobre una línea recta, y, además, conserva la dirección de su desplazamiento”

De manera simple, se plantea la ecuación de velocidad promedio:

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Esta sólo considera condiciones iniciales y finales, tanto de posición como de tiempo, si bien es aceptable a nivel secundaria y preparatoria, por formalidad se tiene que plantear la ecuación de velocidad instantánea:

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La cual es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, o también se puede plantear como la derivada de la posición con respecto al tiempo.

“El MRUA es aquel que experimenta un cuerpo que además de desplazarse en línea recta experimenta un cambio constante en su velocidad por unidad de tiempo”

Al igual que en el caso de la velocidad se plantea el caso de la aceleración promedio:

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Al igual que en el caso de la velocidad sólo considera condiciones iniciales y finales. En un sentido más formal se plantea la ecuación de aceleración instantánea:

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Si nos apoyamos en la ecuación de velocidad instantánea podemos obtener una segunda expresión de la ecuación anterior:

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Y es de esta ecuación de donde partiremos, ahora bien, esta ecuación es una ecuación diferencial, pero, ¿qué es una ecuación diferencial?

“Una ecuación diferencial es aquella igualdad que asocia una función y sus derivadas de tal forma que al sustituirlas en dicha igualdad esta se cumpla”

En este caso se trata de una ecuación diferencial de variables separables y se resuelve de la siguiente manera

Primero reescribimos la ecuación como:

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Integrando de ambos lados de la ecuación y tomando consideraciones iniciales

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Reescribiendo la ecuación e integrando de ambos lados de la ecuación:

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Y es así como llegamos a nuestra bonita ecuación para obtener la posición de una partícula en MRUA.

Después de hacer todo el desarrollo y explicar el tema desde el inicio dirigí la mirada a mis queridos educandos, que con la mirada entre vacía y curiosa miraban el pizarrón con cierta incredulidad. Sin embargo, siguieron haciendo preguntas y mostrando interés lo cual fue bastante alentador.

La curiosidad que muestra un alumno debe ser un punto de partida para desarrollar sus capacidades y alentarlo a seguir investigando por su cuenta para acercarlo a una meta. Fomentar el planteamiento de preguntas y la búsqueda del porqué deben ser los pilares de la formación dentro del aula.

Con estas ideas terminamos por hoy, y la pregunta obligada es ¿De qué hablaremos la próxima vez?

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